Derivada aproximada pra (x!)

Não sei se já descobriram a derivada perfeita do fatorial (que é dx!/dx), mas descobri uma aproximação muito boa, descrita na imagem. c é uma variável equivalente à coordenada x do vértice da função f(x)=x! para x>0. C tem valor aproximado de 0,5. Essa função apresentou precisão que aumenta conforme x, de 97% pra cima, mas a distância entre a derivada exata de x! e a aproximação ln(x+c-1) também aumentou muito a partir de x=4. Se você ainda não entendeu minha lógica, veja essa comparação entre duas funções, sendo A uma função perfeita e B uma aproximação: A1=2; B1=1 A2=1000; B2=990 Em 1, B tinha 1 de diferença, mas apenas 50% de precisão. Em 2, B tinha diferença dez vezes maior, mas sua precisão foi pra 99%. O mesmo acontece com a derivada de x! e a aproximação que encontrei.